（2011•崇明县二模）（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使

Question

（2011•崇明县二模）（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．
（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为(4)/(5)？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），
则

EG

＝(1，2，−1)，

BD

＝(−2，2，0)．
设异面直线EG与BD所成角为θ cosθ＝(|EG•BD|)/(|EG|•|BD|)=(|−2+4|)/(√(6)•√(8))＝

作业帮用户 2017-11-09 举报

问题解析

（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量

EG

＝(1，2，−1)，

BD

＝(−2，2，0)的坐标，利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x₀，2，0），平面EFQ的法向量为

 n 

＝(x，y，z)，再点A到平面EFQ的距离，求出x₀，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

名师点评

本题考点：

点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．

考点点评：

考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及平行向量与共线向量的判定定理，体现 了转化的思想方法，属中档题．

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