在任意四边形ABCD中,E,F是AD三等分点,G,H是BC三等分点,怎样证明EFGH的面积是ABCD的三分之一

Question

在任意四边形ABCD中,E,F是AD三等分点,G,H是BC三等分点,怎样证明EFGH的面积是ABCD的三分之一

Answer 1

证明：
连接AG,GF,FC,AC.
AE=EF,则:S⊿EFG=S⊿AEG=(1/2)S⊿AFG;(1)
同理可证:S⊿GHF=S⊿CHF=(1/2)S⊿CGF;(2)
(1)+(2),得:S⊿EFG+S⊿GHF=(1/2)(S⊿AFG+S⊿CGF),
即:S四边形EFGH=(1/2)S四边形AFCG;
又S⊿CGA/S⊿CBA=CG/CB=2/3,
则S⊿CGA=(2/3)S⊿CBA;(3)
同理可证:S⊿AFC=(2/3)S⊿ADC;(4).
(3)+(4),得:S⊿CGA+S⊿AFC=(2/3)*(S⊿CBA+S⊿ADC),
即;S四边形AFCG=(2/3)S四边形ABCD.
∴S四边形EFGH=(1/2)*(2/3)S四边形ABCD=(1/3)S四边形ABCD.