已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证MN=BM+DN．（2）当∠MAN绕点A旋转到BM

Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证MN=BM+DN．
（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

Answer 1

（1）如图1，连接AC，交MN于点G，

∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，且BM=DN，
∴CM=CN，且AC平分∠BCD，
∴AC⊥MN，且MG=GN，
∴∠MAG=∠NAG，
∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，
∴∠BAM=∠GAN=∠GAM，
在△ABM和△AGM中，

∠B=∠AGM=90°

∠BAM=∠GAM

AM=AM

∴△ABM≌△AGM（AAS），
∴BM=MG，同理可得GN=DN，
∴BM+DN=MG+GN=MN，
∴BM+DN=MN；
（2）猜想：BM+DN=MN，
证明如下：
如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，

在△ABE和△ADN中，

AB=AD

∠ABE=∠D

BE=DN

∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠EAB+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AEM和△ANM中

AE=AN

∠EAM=∠NAM

AM=AM

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
又ME=BE+BM=BM+DN，
∴BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN．
证明如下：
如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF，

△ABM和△ADF中，

AB=AD

∠ABM=∠D

BM=DF

，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即MAF=∠BAD=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠FAN=45°，
在△MAN和△FAN中，

AM=AF

∠MAN=∠FAN

AN=AN

∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN=NF，
∴MN=DN-DF=DN-BM，
∴DN-BM=MN．