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设p(≥5)是质数,并且2p+1也是质数.求证:4p+1是合数.
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设p(≥5)是质数,并且2p+1也是质数.求证:4p+1是合数.
▼优质解答
答案和解析
证明:由于p是大于3的质数,故p不会是3k的形式,从而p必定是3k+1或3k+2的形式,k是正整数.
若p=3k+1,则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1),是合数,与题设矛盾;
所以p=3k+2,这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3).
所以4p+1是合数.
若p=3k+1,则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1),是合数,与题设矛盾;
所以p=3k+2,这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3).
所以4p+1是合数.
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