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(2014•鄂州)如图,正方形ABCD的边长是1,点M,N分别在BC,CD上,使得△CMN的周长为2,则△MAN的面积最小值为2-12-1.
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(2014•鄂州)如图,正方形ABCD的边长是1,点M,N分别在BC,CD上,使得△CMN的周长为2,则△MAN的面积最小值为
-1
-1.
2 |
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▼优质解答
答案和解析
延长CB至L,使BL=DN,
则Rt△ABL≌Rt△ADN,
故AL=AN,
∵CM+CN+MN=2,CN+DN+CM+BM=1+1=2,
∴MN=DN+BM=BL+BM=ML,
∴△AMN≌△AML(SSS),
设CM=x,CN=y,MN=z
x2+y2=z2,
∵x+y+z=2,
则x=2-y-z
∴(2-y-z)2+y2=z2,
整理得2y2+(2z-4)y+(4-4z)=0,
∴△=4(z-2)2-32(1-z)≥0,
即(z+2-2
)(z+2+2
)≥0,
又∵z>0,
∴z≥2
-2
此时S△AMN=S△AML=
ML•AB=
z
因此,当z=2
-2,S△AMN取到最小值为
-1.
故答案为:
-1.
则Rt△ABL≌Rt△ADN,
故AL=AN,
∵CM+CN+MN=2,CN+DN+CM+BM=1+1=2,
∴MN=DN+BM=BL+BM=ML,
∴△AMN≌△AML(SSS),
设CM=x,CN=y,MN=z
x2+y2=z2,
∵x+y+z=2,
则x=2-y-z
∴(2-y-z)2+y2=z2,
整理得2y2+(2z-4)y+(4-4z)=0,
∴△=4(z-2)2-32(1-z)≥0,
即(z+2-2
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又∵z>0,
∴z≥2
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此时S△AMN=S△AML=
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因此,当z=2
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故答案为:
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