设m是不大于100的整数,试求方程x^2-mx+2^10=0的正整数解及相应的m值

Question

设m是不大于100的整数,试求方程x^2-mx+2^10=0的正整数解及相应的m值

Answer 1

首先这个方程的判别式非负,可知m^2-2^12≥0,m≥64或者m≤-64.由于要求方程有正整数解,所以m>0,因此64≤m≤100.
其次,显然这个方程的正整数解x一定是2^10的因数,设x=2^t,则
m=2^t+2^(10-t),根据64≤m≤100可得
t=4,5,6.
于是所求方程的解为：
x=16,64相应的m=80;
x=32相应的m=64.