求齐次微分方程的通解：2xydx+(y的平方-3x的平方)dy=o

Question

求齐次微分方程的通解：2xydx+(y的平方-3x的平方)dy=o

Answer 1

此题是能算的,先说!
整理原式有dx/dy=(3x²-y²)/(2xy)=3x/(2y)-y/(2x)
令x/y=p,即x=py,则dx/dy=ydp/dy+p,故ydp/dy+p=3p/2-1/(2p)
化简有ydp/dy=(p²-1)/(2p)
分离变量有：(2p)/(p²-1)dp=(1/y)dy,两边分别对各自变量积分有ln|p²-1|=ln|y|+C
即p²=Cy+1
再带回x/y=p有(x/y)²=Cy+1,化简得：Cy³+y²=x²
另当y=0时也是原方程的解.所以综合上述
微分方程的解为：Cy³+y²=x²或y=0