已知抛物线C1与x轴的一个交点为交于（-4，0），对称轴为x=-1.5，并过点（-1，6），（1）求抛物线C1的解析式；（2）求出与抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式，并在C1所在的平面直角坐

Question

已知抛物线C₁与x轴的一个交点为交于（-4，0），对称轴为x=-1.5，并过点（-1，6），
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）求出与抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的解析式，并在C₁所在的平面直角坐标系中画出C₂的图象；
（3）在（2）的条件下，抛物线C₁与抛物线C₂与相交于A，B两点（点A在点B的左侧），
①求出点A和点B的坐标；
②点P在抛物线C₁上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C₂上，也位于点A和点B之间、当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

Answer 1

（1）∵抛物线C₁交x轴于（-4，0），对称轴为x=-1.5，
∴抛物线C₁与x轴的另一个交点为（1，0）；
设C₁的解析式为：y=a（x+4）（x-1），则有：
a（-1+4）（-1-1）=6，
解得a=-1，
∴y=-（x+4）（x-1），即C₁：y=-x²-3x+4．

（2）由（1）知，抛物线C₁：y=-x²-3x+4=-（x+(3)/(2)）²+(25)/(4)；
由于C₁、C₂关于原点对称，则抛物线C₂：y=（x-(3)/(2)）²-(25)/(4)，
其图象如图所示：

（3）①联立抛物线C₁、C₂的解析式，可得：

y＝−x2−3x+4

y＝x2−3x−4

，
解得

x＝−2

y＝6

，

x＝2

y＝−6

；
故A（-2，6）；B（2，-6）；
②设P（a，b），则-2≤a≤2，y_p=b=-a²-3a+4，
因为PQ∥y轴，
所以点Q的横坐标为a，则y_Q=a²-3a-4，
所以PQ=y_p-y_Q=-2a²+8，
即当a=0时，PQ的最大值为8．