已知：定义在R上的函数f(x)满足f(log2 x)=x+a/x(a为常数）（1）f(x)的解析式（2）如果f(x)是偶函数,求a的值（3）在（2）的条件下,判断f(x)在（-无穷大,0）上的单调性

Question

已知：定义在R上的函数f(x)满足f(log2 x)=x+a/x(a为常数）（1）f(x)的解析式（2）如果f(x)是偶函数,求a的值（3）在（2）的条件下,判断f(x)在（-无穷大,0）上的单调性

Answer 1

(1)令t=log2 x,则x=2^t
所以 f（t）=2^t+a/2^t
所以 f（x）=2^x+a/2^x
(2)因为f(x)是偶函数
所以 f（x）=f(-x)
所以 2^x+a/2^x=2^-x+a/2^-x
所以 （a-1）/2^x=(a-1).2^x
所以 a-1=0 则a=1
（3）由（2）得：f（x）=2^x+1/2^x
令t=2^x,因为x在（-无穷大,0）,则t在（-无穷大,1）
则y=t+1/t=（t^2+1）/t
则y‘=(2t-t^2-1)/t^2=-(t-1)^2/t^2
令y’=0,即-(t-1)^2/t^2=0
得t=1
所以t在（-无穷大,1）上,y‘<0,所以y=t+1/t递减
即f（x）=2^x+1/2^x在（-无穷大,0）上单调递减.