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已知点D是△ABC的边BC上的点，且AB2=AD2+BD×DC．求证△ABC为等腰三角形．
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已知点D是△ABC的边BC上的点，且AB2=AD2+BD×DC．求证△ABC为等腰三角形．
▼优质解答
答案和解析
取BC边所在的直线为x轴，BC上的高为y轴，建立如图所示的坐标系．
设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0）．
由已知，AB2=AD2+BD×DC，
∴a2+b2=c2+d2+（d-b）（c-d），
∴（b+c）（b-d）=0．
∵b≠d，所以b=-c．
即O是BC的中点，△ABC为等腰三角形．
设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0）．
由已知，AB2=AD2+BD×DC，
∴a2+b2=c2+d2+（d-b）（c-d），
∴（b+c）（b-d）=0．
∵b≠d，所以b=-c．
即O是BC的中点，△ABC为等腰三角形．
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