选修2-3(1912:14:40)（1）证明2≤(1+1/n)n＜3（2）证明：对任意非负整数n,3^(3n)-26n-1都可被676整除

Question

选修2-3 (19 12:14:40)
（1）证明2≤(1+1/n)n＜3
（2）证明：对任意非负整数n,3^(3n)-26n-1都可被676整除

Answer 1

（1)、将(1+1/n)^n用二项式展开
(1+1/n)^n = 1 + 1 + (n-1)/(2!n) + (n-1)(n-2)/(3!n^2) + ...
< 1 + 1 + 1/2!+ 1/3!+ ...
< 1 + 1 + 1/(2*1) + 1/(3*2) + ...
< 1 + 1 + 1-1/2 +1/2-1/3 + ...
< 3
(1+1/n)^n = 1 + 1 + (n-1)/(2!n) + (n-1)(n-2)/(3!n^2) + ...
>=2,当n取1时,等号成立
得证
（2）、676=26^2
还是用二项式展开啊,具体我就不做了!
着重讲一下用数学归纳法的证明!
3^(3n)-26n-1=27^n-26n-1
很显然当n=0、1时,成立,
设当n=k,k>=1时成立,并设27^k-26k-1=676m,(m为整数)
当n=k+1时
27^(k+1)-26(k+1)-1
=27*27^k-26k-27
=26*27^k+27^k-26k-1-26
=26*27^k-26+(27^k-26k-1)
=26*27^k-26+676m
=26(27^k-1)+676m
=26(27^k-26k-1+26k)+676m
=26(676m+26k)+676m
=26*676m+26^2k+676m
=27*676m+676k
由于m、k均为整数,
所以27^(k+1)-26(k+1)-1也能被676整除
即当n=k+1时也成立
也就是说对于一切非负整数,该结论都成立!