（2014•邯郸二模）已知函数f（x）=（x2-2x）•lnx+ax2+2（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-x-2；（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值

Question

（2014•邯郸二模）已知函数f（x）=（x²-2x）•lnx+ax²+2
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-x-2；
（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；
（ii）在（i）的条件下，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=（x²-2x）•lnx-x²+2，定义域（0，+∞）
∴f′（x）=（2x-2）•lnx+（x-2）-2x．…（1分）
∴f′（1）=3，
又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y-4=0 …（2分）
（Ⅱ）（ⅰ）令g（x）=f（x）-x-2=0
则=（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，即a=(1−(x−2)lnx)/(x)                …（4分）
令h（x）=(1−(x−2)lnx)/(x)，
则h′（x）=(1−x−2lnx)/(x2)
令t（x）=1-x-2lnx，则t′（x）=(−x−2)/(2)
∵x＞0，∴t′（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是减函数…（6分）
又∵t（1）=h′（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1，
∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1     …（8分）
（ⅱ）当a=1时，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，
若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）_max≤m，
∴g′（x）=（x-1）（3+2lnx），
令g′（x）=0得x=1或x=e−(3)/(2)          …（11分）
又∵e^-2＜x＜e，
∴函数g（x）在（e^-2，e−(3)/(2) ）上单调递增，在（e−(3)/(2)，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增
又g（e−(3)/(2) ）=-(1)/(2)e^-3+2e−(3)/(2)，g（e）=2e²-3e
∵g（e−(3)/(2) ）=-(1)/(2)e^-3+2e−(3)/(2)＜2e−(3)/(2)＜2e＜2e（e-(3)/(2)）=g（e），
∴g（e−(3)/(2) ）＜g（e），
∴m≥2e²-3e…（14分）