如图所示，已知PD垂直以AB为直径的圆O所在平面，点D在线段AB上，点C为圆O上一点，且BD=PD=3，AC=2AD=2．（1）求证：PA⊥CD；（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Question

如图所示，已知PD垂直以AB为直径的圆O所在平面，点D在线段AB上，点C为圆O上一点，且BD=PD=3，AC=2AD=2．

（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，由BD=PD=3，AC=2AD=2，
点D为AO的中点，
又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，
∵BD=PD=3，AC=2AD=2，∴∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴PA⊥CD．
（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，
由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC为二面角C-PB-A的平面角．
由（1）可知CD=√(3)，PD=BD=3，
∴PB=3√(2)，则DE=(PD×BD)/(PB)=(3√(2))/(2)，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC=(CD)/(DE)=(√(6))/(3)，
∴cos∠DEC=(√(15))/(5)，即二面角C-PB-A的余弦值为(√(15))/(5)．