求高手计算求高手计算∑(n=1)x^(n-1)/(n*3^n)的收敛区间及其和函数

Question

求高手计算求高手计算∑(n=1)x^(n-1)/(n*3^n)的收敛区间及其和函数

Answer 1

an=1/(n*3^n),n次根号(an)=1/【3*n次根号(n)】,极限是1/3,因此收敛半径是3.
容易知道,当x=--3时级数是交错级数,收敛；在x=3时级数发散,因此
收敛范围是【-3,3）.
考虑f(x)=求和(n=1到无穷)x^n/n,x=0代入知道f(0)=0,
f'(x)=求和(n=1到无穷)x^(n--1)=1/(1--x),因此
f(x)=f(0)+积分（从0到x）f'(t)dt
=--ln(1--x),于是
原题的级数=【求和(n=1到无穷)(x/3)^n/n】/x
=f(x/3)/x=--【ln(1--x/3)】/x,--3