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n阶实对称矩阵A满足A^2=A,r(A)=r
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n阶实对称矩阵A满足A^2=A,r(A)=r
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答案和解析
实际上,对于任意半正定实对称矩阵A（r（A）=r）,都存在nxr阶矩阵U,使得A=UU^T：
因为A为实对称矩阵,所以存在正交矩阵P,使得A=PDP^T,其中D=diag｛m1,…,mr,0,…,0｝（其中mi为A的正特征值）记B=diag｛√m1,…,√mr｝,取U^T=（B 0）P^T,则UU^T=PDP^T=A
所以对本题,由A^2=A可得A的特征值只有1（r重）、0,从而取U^T=（Er 0）P^T即可
因为A为实对称矩阵,所以存在正交矩阵P,使得A=PDP^T,其中D=diag｛m1,…,mr,0,…,0｝（其中mi为A的正特征值）记B=diag｛√m1,…,√mr｝,取U^T=（B 0）P^T,则UU^T=PDP^T=A
所以对本题,由A^2=A可得A的特征值只有1（r重）、0,从而取U^T=（Er 0）P^T即可
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