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设一动直线L与曲线C:(x-1)²+(y-1)²=1相切,此直线和x轴、y轴的交点分别为A、B,且OA=a,OB=b(a>2,b>2)(1)a、b间满足什么关系(2)求△OAB的面积的最小值
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答案和解析
【解】 (1)设直线l的方程为xa+yb=1,
即bx+ay-ab=0.
∵直线与圆相切,∴|a+b-ab|a2+b2=1,
整理得ab-2(a+b)+2=0,即a=2b-2b-2.
(2)S△OAB=12ab=12•2b-2b-2•b
=b2-bb-2=(b-2)+2b-2+3≥2 (b-2)•2b-2+3
=3+2根号2,
此时b-2=2b-2,b=2±根号2.
∵b>2,∴b=2+根号2.
答:△OAB面积的最小值为3+2根号2.
即bx+ay-ab=0.
∵直线与圆相切,∴|a+b-ab|a2+b2=1,
整理得ab-2(a+b)+2=0,即a=2b-2b-2.
(2)S△OAB=12ab=12•2b-2b-2•b
=b2-bb-2=(b-2)+2b-2+3≥2 (b-2)•2b-2+3
=3+2根号2,
此时b-2=2b-2,b=2±根号2.
∵b>2,∴b=2+根号2.
答:△OAB面积的最小值为3+2根号2.
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