如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信

Question

如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．

（1）设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
（2）求P到海防警戒线AC的距离（结果精确到0.01千米）．

Answer 1

（1）依题意，有PA=PC=x，PB=x-1.5×8=x-12．
在△PAB中，AB=20cos∠PAB＝(PA2+AB2−PB2)/(2PA•AB)=(x2+202−(x−12)2)/(2x•20)＝(3x+32)/(5x)
同理，在△PAB中，AC=50cos∠PAC＝(PA2+AC2−PC2)/(2PA•AC)=(x2+502−x2)/(2x•50)＝(25)/(x)
∵cos∠PAB=cos∠PAC，
∴(3x+32)/(5x)＝(25)/(x)解之，得x=31．
（2）作PD⊥AC于D，在△ADP中，
由cos∠PAD＝(25)/(31)得sin∠PAD＝√(1−cos2∠PAD)＝(4√(21))/(31)
∴PD＝PAsin∠APD＝31•(4√(21))/(31)＝4√(21)≈18.33千米
答：静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米．