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△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC的中点,连接DH,BECE与BG的大小关系如何,试说明理由
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答案和解析
利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC,从而得出BF=AC.
利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC,得出CE=AE= AC,又因为BF=AC所以CE= AC= BF
连接CG.因为△BCD是等腰直角三角形,即BD=CD.又因为H是BC边的中点,那么DH垂直平分BC.即BG=CG.
在Rt△CEG中,CG是斜边,CE是直角边,所以CE<CG.即CE<BG.证明:(1)∵CD⊥AB,∠ABC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
∵∠DBF=90°-∠BFD,∠DCA=90°-∠EFC,且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD,
∴Rt△DFB≌Rt△DAC.
∴BF=AC;
(2)在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC.
∴CE=AE= AC.
又由(1),知BF=AC,
∴CE= AC= BF;
(3)CE<BG.
证明:连接CG.
∵△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD
又H是BC边的中点,
∴DH垂直平分BC.∴BG=CG
在Rt△CEG中,
∵CG是斜边,CE是直角边,
∴CE<CG.
∴CE<BG.
利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC,得出CE=AE= AC,又因为BF=AC所以CE= AC= BF
连接CG.因为△BCD是等腰直角三角形,即BD=CD.又因为H是BC边的中点,那么DH垂直平分BC.即BG=CG.
在Rt△CEG中,CG是斜边,CE是直角边,所以CE<CG.即CE<BG.证明:(1)∵CD⊥AB,∠ABC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
∵∠DBF=90°-∠BFD,∠DCA=90°-∠EFC,且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD,
∴Rt△DFB≌Rt△DAC.
∴BF=AC;
(2)在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC.
∴CE=AE= AC.
又由(1),知BF=AC,
∴CE= AC= BF;
(3)CE<BG.
证明:连接CG.
∵△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD
又H是BC边的中点,
∴DH垂直平分BC.∴BG=CG
在Rt△CEG中,
∵CG是斜边,CE是直角边,
∴CE<CG.
∴CE<BG.
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