如图，正方形MNBC内有一点A，以AB，AC为边向△ABC外作正方形ABRT和正方形ACPQ，连结RM，BP．求证：BP∥RM．

Question

如图，正方形MNBC内有一点A，以AB，AC为边向△ABC外作正方形ABRT和正方形ACPQ，连结RM，BP．求证：BP∥RM．

Answer 1

证明：如图，连接PM，RN，

∵正方形MNBC、正方形ABRT、正方形ACPM，
∴MN=MC=BC，AB=BR，AC=PC，∠BCM=∠ABR=∠BNM=∠ACP=90°
∵∠ACB=∠BCM-∠ACM，∠PCM=∠ACP-∠ACM，
∴∠ACB=∠PCM，
在△ABC和△PMC中，

BC=BM

∠ACB=∠PCM

AC=PC

∴△ABC≌△PMC（SAS），
∴PM=AB，
∴PM=BR，
同理可得：RN=AC，∠BNR=∠ACB，
∴RN=PC，∠BNR=∠PCM，
∵∠BCP=∠BCM+∠PCM，∠MNR=∠BNM+∠BNR
∴∠BCP=∠MNR，
在△BCP和△MNR中，

RN=PC

∠BCP=∠MNR

MN=BC

∴△BCP≌△MNR （SAS）
∴BP=MR
∴四边形BPMR为平行四边形，
∴BP∥RM