设A为三阶方阵，有下列三个命题：①A经初等行变换化为B=111022003，则A的特征值一定为1，2，3；②若A的秩r（A）=2，则A必有两个非零特征值；③若三阶方阵P，使得AP=PΛ，Λ为对角阵，则P的列

Question

设A为三阶方阵，有下列三个命题：
①A经初等行变换化为B=

1	1	1
0	2	2
0	0	3

，则A的特征值一定为1，2，3；
②若A的秩r（A）=2，则A必有两个非零特征值；
③若三阶方阵P，使得AP=PΛ，Λ为对角阵，则P的列向量一定是A的特征向量．
其中正确的个数为（　　）

A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

命题①：
设A＝

1	1	1
0	1	1
0	0	1

2r2，3r3

1	1	1
0	2	2
0	0	3

，很明显A的特征值是1，
故命题①不正确；
命题②：
只有矩阵A可对角化时，才成立，
因为当A可对角化时，A与其特征值构成的对角矩阵diag（a₁，a₂，…，a_n）相似，
所以：A的秩等于diag（a₁，a₂，…，a_n）的秩，
而diag（a₁，a₂，…，a_n）的秩等于a₁，a₂，…，a_n中非零元素的个数，
所以：此时A的秩等于A的非零特征值的个数，
但当A不可对角化时，就不一定有此结论了，
故命题②不正确．
命题③：
设P=（α₁，α₂，α₃），∧=

λ1
	λ2
		λ3

，
则由AP=PΛ，得：
Aα_i=λ_iα_i（i=1，2，3），
从而P的列向量一定是A的特征向量，
故命题③成立，
故选：B．