平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．

Question

平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：CD₁所在的直线与BC₁所在的直线是异面直线．₁₁₁₁₁₁

Answer 1

证明：用反证法，
假设CD₁1所在的直线与BC₁1所在的直线不是异面直线．
设直线CD₁1与BC₁1共面α．
∵C，D₁1∈CD₁1，B，C₁1∈BC₁1，∴C，D₁1，B，C₁1∈α．
∵CC₁1∥BB₁1，∴CC₁1，BB₁1确定平面BB₁1C₁1C，
∴C，B，C₁1∈平面BB₁1C₁1C．
∵不共线的三点C，B，C₁1只有一个平面，
∴平面α与平面BB₁1C₁1C重合．
∴D₁1∈平面BB₁1C₁1C，矛盾．
因此，假设错误，即CD₁1所在的直线与BC₁1所在的直线是异面直线．