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如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,DB∥AE,且AC=AB=BC=AE=1,BD=2,F为CD中点.(1)求证:EF⊥平面BCD;(2)求多面体ABCDE的体积;(3)求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值.

题目详情
如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,DB∥AE,且AC=AB=BC=AE=1,BD=2,F为CD中点.
(1)求证:EF⊥平面BCD;
(2)求多面体ABCDE的体积;
(3)求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)取BC中点G点,连接AG,FG,如图1
因为AE⊥面ABC,BD∥AE,
所以BD⊥面ABC.
又AG 面ABC,
所以BD⊥AG.
又AC=AB,G是BC的中点,
所以AG⊥BC,
所以AG⊥平面BCD.
又因为F是CD的中点且BD=2,
所以FG∥BD且FG=1,
所以FG∥AE.
又AE=1,所以AE=FG,所以四边形AEFG是平行四边形,
所以EF∥AG,所以EF⊥面BCD
(2)设AB中点为H,则由AC=AB=BC=2,
可得CH⊥AB且CH=  ,
如图2 ,又BD∥AE,所以BD与AE共面.
又AE⊥面ABC,所以平面ABDE⊥平面ABC.
所以CH⊥平面ABDE,即CH为四棱锥C﹣ABDE的高.
故四棱锥C﹣ABDE的体积为
V C﹣ABDE = S ABDE CH=
(3)以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则C( ),E(0,﹣ ,1),F( ),

设平面CEF的法向量为
,得
平面ABC的法向量为 =(0,0,1)
∴cos = =
∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值