求抛物线y2=2ax的曲率半径．

Question

求抛物线y²=2ax的曲率半径．²

Answer 1

因为y2＝2ax， 2yy′＝2a⇒y′＝(a)/(y′)， y″＝−(a2)/(y3)，
故由曲率的计算公式可得，
 k＝|(y″)/((1+y′2)3/2)|＝(a2)/((a2+y2)3/2)，
所以，曲率半径为：R＝(1)/(k)＝((a2+y2)3/2)/(a2)． y2＝2ax， 2yy′＝2a⇒y′＝(a)/(y′)， y″＝−(a2)/(y3)，
故由曲率的计算公式可得，
 k＝|(y″)/((1+y′2)3/2)|＝(a2)/((a2+y2)3/2)，
所以，曲率半径为：R＝(1)/(k)＝((a2+y2)3/2)/(a2)． 2＝2ax， 2yy′＝2a⇒y′＝(a)/(y′)aaay′y′y′， y″＝−(a2)/(y3)a2a2a22y3y3y33，
故由曲率的计算公式可得，
 k＝|(y″)/((1+y′2)3/2)|＝(a2)/((a2+y2)3/2)，
所以，曲率半径为：R＝(1)/(k)＝((a2+y2)3/2)/(a2)． k＝|(y″)/((1+y′2)3/2)y″y″y″″(1+y′2)3/2(1+y′2)3/2(1+y′2)3/2′2)3/22)3/23/2|＝(a2)/((a2+y2)3/2)a2a2a22(a2+y2)3/2(a2+y2)3/2(a2+y2)3/22+y2)3/22)3/23/2，
所以，曲率半径为：R＝(1)/(k)＝((a2+y2)3/2)/(a2)． R＝(1)/(k)111kkk＝((a2+y2)3/2)/(a2)(a2+y2)3/2(a2+y2)3/2(a2+y2)3/22+y2)3/22)3/23/2a2a2a22．