求解答四边形ABCD中，角B=角C=90度，M是BC的中点，DM平分角ADC.求证.求解答

Question

求解答 四边形ABCD中，角B=角C=90度，M是BC的中点，DM平分角ADC.求证.求解答

Answer 1

【此类型题一般有三种问法：①求证：AM平分∠BAD，②求证：AD=AB+CD，③AM⊥DM】

①证明：

作MN⊥AD于N。

则∠DNM=∠C=90°

∵DM平分∠ADC

∴MN=MC（角平分线上的点到角两边距离相等）

∵M是BC的中点，即MB=MC

∴MN=MB

∵∠AHM=∠B=90°

∴点M在∠BAD的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）

∴AM平分∠BAD

②【可包含①】

作MN⊥AD于N。

则∠DNM=∠C=90°

∵DM平分∠ADC

∴∠NDM=∠CDM

又∵DM=DM

∴△DNM≌△DCM（AAS）

∴DN=CD，MN=MC

∵M是BC的中点，即MB =MC

∴MN=MB

又∵∠ANM=∠B=90°

      AM=AM

∴Rt△ANM≌Rt△ABM（HL）

∴AN=AB，【同时∠BAM=∠NAM，即AM平分∠BAD】

∴AD=AN+ND=AB+CD

③

∵∠B+∠C=90°+90°=180°

∴AB//DC

∴∠BAD+∠ADC=180°

由①或②可得

AM平分BAD，DM平分∠ADC

∴∠MAD=1/2BAD ，∠ADM=1/2∠ADC

∴∠MAD+∠ADM=1/2(∠BAD+∠ADC)=90°

∴∠AMD=90°

即 AM ⊥DM