求解答四边形ABCD中,角B=角C=90度,M是BC的中点,DM平分角ADC.求证.求解答
【此类型题一般有三种问法:①求证:AM平分∠BAD,②求证:AD=AB+CD,③AM⊥DM】
①证明:
作MN⊥AD于N。
则∠DNM=∠C=90°
∵DM平分∠ADC
∴MN=MC(角平分线上的点到角两边距离相等)
∵M是BC的中点,即MB=MC
∴MN=MB
∵∠AHM=∠B=90°
∴点M在∠BAD的平分线上(到角两边距离相等的点在角的平分线上)
∴AM平分∠BAD
②【可包含①】
作MN⊥AD于N。
则∠DNM=∠C=90°
∵DM平分∠ADC
∴∠NDM=∠CDM
又∵DM=DM
∴△DNM≌△DCM(AAS)
∴DN=CD,MN=MC
∵M是BC的中点,即MB =MC
∴MN=MB
又∵∠ANM=∠B=90°
AM=AM
∴Rt△ANM≌Rt△ABM(HL)
∴AN=AB,【同时∠BAM=∠NAM,即AM平分∠BAD】
∴AD=AN+ND=AB+CD
③
∵∠B+∠C=90°+90°=180°
∴AB//DC
∴∠BAD+∠ADC=180°
由①或②可得
AM平分BAD,DM平分∠ADC
∴∠MAD=1/2BAD ,∠ADM=1/2∠ADC
∴∠MAD+∠ADM=1/2(∠BAD+∠ADC)=90°
∴∠AMD=90°
即 AM ⊥DM
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