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设a1＝根号2.an＋1＝根号2an,证明数列an存在极限.并求极值
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设a1＝根号2.an＋1＝根号2an,证明数列an存在极限.并求极值
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答案和解析
a（n＋1）＝√（2an）
依题意,两边恒伟正值,两边取对数
lga(n+1)=lg[√(2an)]=1/2lg2+1/2lgan
∴lga(n+1)-lg2=1/2(lgan-lg2)
∴[la(n+1)-lg2]/(lnan-lg2)=1/2
∴{lgan-lg2}为∴等比数列,公比为1/2
∵a1=√2
∴lga1-lg2=-1/2lg2
∴lgan-lg2=-1/2lg2*(1/2)^(n-1)
∴lim(lgan-lg2)=0
那么lgan的极限存在为lg2
∴an的极限存在,极限值为2
依题意,两边恒伟正值,两边取对数
lga(n+1)=lg[√(2an)]=1/2lg2+1/2lgan
∴lga(n+1)-lg2=1/2(lgan-lg2)
∴[la(n+1)-lg2]/(lnan-lg2)=1/2
∴{lgan-lg2}为∴等比数列,公比为1/2
∵a1=√2
∴lga1-lg2=-1/2lg2
∴lgan-lg2=-1/2lg2*(1/2)^(n-1)
∴lim(lgan-lg2)=0
那么lgan的极限存在为lg2
∴an的极限存在,极限值为2
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