已知数列{an}，对于任意n≥2，在an-1与an之间插入n个数，构成的新数列{bn}成等差数列，并记在an-1与an之间插入的这n个数均值为Cn-1．（1）若an=n2+3n−82，求C1，C2，C3；（2）在（1）的条件下是

Question

已知数列{a_n}，对于任意n≥2，在a_n-1与a_n之间插入n个数，构成的新数列{b_n}成等差数列，并记在a_n-1与a_n之间插入的这n个数均值为C_n-1．
（1）若a_n=(n2+3n−8)/(2)，求C₁，C₂，C₃；
（2）在（1）的条件下是否存在常数λ，使{C_n-1-λC_n}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；
（3）求出所有的满足条件的数列{a_n}．

Answer 1

（1）由题意可得a₁=-2，a₂=1，a₃=5，a₄=10，∴在a₁与a₂之间插入-1、0，C₁=-(1)/(2)，…1′
在a₂与a₃之间插入2、3、4，C₂=3，…2′在a₃与a₄之间插入6、7、8、9，C₃=(15)/(2)．…3′
（2）在a_n-1与a_n之间插入n个数构成等差，d=(an−an−1)/(n+1)=1，∴C_n-1 =(an−1+an)/(2)=(n2+2n−9)/(2)．…5′
假设存在λ使得{C_n+1-λC_n}是等差数列，
∵（C_n+1-λC_n）-（C_n-λC_n-1）=C_n+1-C_n-λ（C_n-C_n-1）=(2n+5)/(2)-λ•(2n+3)/(2)=（1-λ）n+(5)/(2)-(3)/(2)λ=常数，
∴λ=1时{C_n+1-λC_n}是等差数列．…8′
（3）由题意满足条件的数列{a_n}应满足 (an−an−1)/(n+1)=(an+1−an)/(n+2)，…10′∴(an+1−an)/(an−an−1)=(n+2)/(n+1)．
∴(an+1−an)/(an−an−1)•(an−an−1)/(an−1−an−2) …(a4−a3)/(a3−a2)•(a3−a2)/(a2−a作业帮用户2016-11-19问题解析（1）由题意可得a1=-2，a2=1，a3=5，a4=10，由此求得C1，C2，C3的值．（2）在an-1与an之间插入n个数构成等差，d=(an−an−1)/(n+1)=1，可得Cn-1的值，再根据等差数列的定义求得满足条件的λ．（3）由题意满足条件的数列{an}应满足(an−an−1)/(n+1)=(an+1−an)/(n+2)，即(an+1−an)/(an−an−1)=(n+2)/(n+1)，用累乘法求得an+1-an=(1)/(3)（a2-a1）•（n+2），再用累加法求得满足条件的数列{an}的通项公式．名师点评本题考点：等差关系的确定；数列的函数特性；等差数列的通项公式．考点点评：本题主要考查等差关系的确定，等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，数列的函数特性，用累乘法和累加法求数列的通项公式，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)