在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2^n.①设bn=an/2^(n+1),证明：数列{bn}是等差数列.②求数列{an}的前n项和.在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2^n。5分①设bn=an/2^(n+1)，证明：数

Question

在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2^n.
①设bn=an/2^(n+1),证明：数列{bn}是等差数列.②求数列{an}的前n项和.
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2^n。5分①设bn=an/2^(n+1)，证明：数

Answer 1

1、
(n+1)=2an+2^n
等式两边同除以2^n
a(n+1)/2^n=an/2^(n-1) +1
a(n+1)/2^n -an/2^(n-1)=1,为定值.
a1/2^(1-1)=1/1=1
数列{an/2^(n-1)}是以1为首项,1为公差的等差数列.
an/2^(n-1)=1+n-1=n
an=n×2^(n-1)
b1=a1/2^(1+1)=1/4
bn=an/2^(n+1)=n×2^(n-1)/2^(n+1)=n/4
b(n+1)-bn=(n+1)/4-n/4=1/4,为定值.
数列{bn}是以1/4为首项,1/4为公差的等差数列.
2、
an=n×2^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an=1×2^0+2×2^1+3×2^2+...+n×2^(n-1)
2Sn=1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n
Sn-2Sn=-Sn=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)-n×2^n=(2^n -1)/(2-1) -n×2^n=(1-n)×2^n -1
Sn=(n-1)×2^n +1
^表示指数,第二问用错位相减法.