已知数列{an}满足（1/1-an+1）-（1/1-an）=1,且a1=0（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=n•2nan,求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设cn=（1-√an+1）/（√n）,设{cn}的前n项和为Tn,证明Tn＜1.

Question

已知数列{an}满足（1/1-an+1）-（1/1-an）=1,且a1=0
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=n•2n an,求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设cn=（1-√an+1）/（√n）,设{cn}的前n项和为Tn,证明Tn＜1.

Answer 1

(1)
（1/(1-a(n+1))）-（1/(1-an)）=1
=>{1/(1-an)}是等差数列,d=1
1/(1-an)-1/(1-a1)=n-1
1/(1-an) = n
1-an =1/n
an = (n-1)/n
(2)
bn=n.an
=n-1
Sn =b1+b2+...+bn
= (n-1)n/2
(3)
cn=(1-√a(n+1)）/√n
=( 1- √[n/(n+1)] )/√n
= (√(n+1) - √n ) /(√(n+1).√n)
= 1/√n - 1/√(n+1)
Tn = c1+c2+...+cn
= 1 - 1/√(n+1)