如图,三角形ABC中,AD是角A的平分线,AD的垂直平分线交AD与E,交BC的延长线为F,求证三角形ABF相似与三角形CAF

Answer 1

此题的关键是证明∠FAC=∠B
AD是∠CAB的平分线
所以∠CAD=∠BAD ①
又EF是AD的垂直平分线
所以∠FAD=∠FDA=∠DAC+∠FAC ②
又由外角
∠FDA=∠B+∠BAD ③
由①②③得
∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠B+∠BAD （其中∠DAC=∠BAD,等式两边可以消掉这两个角）
得到∠FAC=∠B
∠ACF是△ABC的外角
∠ACF=∠B+∠BAC =∠FAC+∠BAC=∠FAB (∠FAB是△BAF的一个角）
△CAF与 △ABF中
∠CAF=∠B,∠ACF=∠FAB 直接可判定两个三角形相似（两个三角形有2个夹角相等）