直线x+2y-3=0与圆x^2+y^2+x-6y+c=0交于P,Q两点,若以PQ为直径的圆通过原点,求C的值

Question

直线x+2y-3=0与圆x^2+y^2+x-6y+c=0交于P,Q两点,若以PQ为直径的圆通过原点,求C的值

Answer 1

改写直线方程,得：x＝3－2y.
∵P、Q都在直线x＝3－2y上,∴可设点P的坐标为（3－2m,m）,Q的坐标为（3－2n,n）.
联立：x＝3－2y、　x^2＋y^2＋x－6y＋c＝0,消去x,得：
（3－2y）^2＋y^2＋3－2y－6y＋c＝0,　∴9－12y＋y^2＋y^2＋3－2y－6y＋c＝0,
∴2y^2－20y＋9＋c＝0.显然,m、n是这个方程的两根,由韦达定理,有：
m＋n＝20/2＝10、　mn＝（9＋c）/2.
∵以PQ为直径的圆过原点,　∴PO⊥QO.
PO的斜率＝m/（3－2m）、　QO的斜率＝n/（3－2n）.
∴［m/（3－2m）］［n/（3－2n）］＝－1,
∴mn/［9－3（m＋n）＋4mn］＝－1,　∴［（9＋c）/2］/［9－3×10＋2（9＋c）］＝－1,
∴（9＋c）/2＝21－2（9＋c）＝3－2c,　∴9＋c＝6－4c,　∴5c＝－3,　∴c＝－3/5.