若F1F2为双曲线的左右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线的左支上,点M在双曲线的右准线上,且满足F1O向量=PM向量,OP向量=k（OF1/|OF1|+OM/|OM|),k>0,（前面括号里均是向量及向量的模）求双曲线离心率.请

Question

若F1F2为双曲线的左右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线的左支上,点M在双曲线的右准线上,且满足
F1O向量=PM向量,OP向量=k（OF1/|OF1|+OM/|OM|),k>0,（前面括号里均是向量及向量的模）求双曲线离心率.
请写出过程.

Answer 1

∵ F1O→=PM→,OP→=λ(OF1→|OF→1|+OM→|OM→|),∴四边形F1OMP是菱形,
设PM与y轴交于点N,∵|F1O|=|PM|=c,MN= a2c,∴P点的横坐标为 -(c-a2c)=-b2c,把 x=-b2c代入双曲线 x2a2-y2b2=1得
y=±c4a2-a4c2-4c2+4a2,∴ M(a2c,c4a2-a4c2-4c2+4a2),∴ |OM|=c4a2-4c2+4a2．
∵四边形F1OMP是菱形,∴|OM|=|F1O|,∴ c4a2-4c2+4a2=c．
整理得e4-5e2+4=0,解得e2=4或e2=1（舍去）．∴e=2,或e=-2（舍去）．