已知函数f(x)=ax+lnx(a属于R),若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率

Question

已知函数f(x)=ax+lnx(a属于R),若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率

Answer 1

（Ⅰ）由已知 f′(x)=2+1x(x＞0),则f'（1）=2+1=3．
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（Ⅱ） f′(x)=a+1x=ax+1x(x＞0)．
①当a≥0时,由于x＞0,故ax+1＞0,f'（x）＞0
所以,f（x）的单调递增区间为（0,+∞）．
②当a＜0时,由f'（x）=0,得 x=-1a．
在区间 (0,-1a)上,f'（x）＞0,在区间 (-1a,+∞)上f'（x）＜0,
所以,函数f（x）的单调递增区间为 (0,-1a),单调递减区间为 (-1a,+∞)；
（Ⅲ）由已知,转化为f（x）max＜g（x）min．
由x∈[0,1],得到g（x）min=g（-1）=1,
由（Ⅱ）知,当a≥0时,f（x）在（0,+∞）上单调递增,值域为R,故不符合题意．
当a＜0时,f（x）在 (0,-1a)上单调递增,在 (-1a,+∞)上单调递减,
故f（x）的极大值即为最大值,f(-1a)=-1+ln(1-a)=-1-ln(-a),
所以1＞-1-ln（-a）,解得 a＜-1e2．