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已知函数f(x)=ax+lnx(a属于R),若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率
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已知函数f(x)=ax+lnx(a属于R),若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由已知 f′(x)=2+1x(x>0),则f'(1)=2+1=3.
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3;
(Ⅱ) f′(x)=a+1x=ax+1x(x>0).
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f'(x)>0
所以,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,由f'(x)=0,得 x=-1a.
在区间 (0,-1a)上,f'(x)>0,在区间 (-1a,+∞)上f'(x)<0,
所以,函数f(x)的单调递增区间为 (0,-1a),单调递减区间为 (-1a,+∞);
(Ⅲ)由已知,转化为f(x)max<g(x)min.
由x∈[0,1],得到g(x)min=g(-1)=1,
由(Ⅱ)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意.
当a<0时,f(x)在 (0,-1a)上单调递增,在 (-1a,+∞)上单调递减,
故f(x)的极大值即为最大值,f(-1a)=-1+ln(1-a)=-1-ln(-a),
所以1>-1-ln(-a),解得 a<-1e2.
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3;
(Ⅱ) f′(x)=a+1x=ax+1x(x>0).
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f'(x)>0
所以,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,由f'(x)=0,得 x=-1a.
在区间 (0,-1a)上,f'(x)>0,在区间 (-1a,+∞)上f'(x)<0,
所以,函数f(x)的单调递增区间为 (0,-1a),单调递减区间为 (-1a,+∞);
(Ⅲ)由已知,转化为f(x)max<g(x)min.
由x∈[0,1],得到g(x)min=g(-1)=1,
由(Ⅱ)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意.
当a<0时,f(x)在 (0,-1a)上单调递增,在 (-1a,+∞)上单调递减,
故f(x)的极大值即为最大值,f(-1a)=-1+ln(1-a)=-1-ln(-a),
所以1>-1-ln(-a),解得 a<-1e2.
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