如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，OA=2，AC，OB的长是关于x的方程x2-（k+2）x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5．（1）填空：0C=，k=；（2）求经过O，C，B

Question

如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，OA=2，AC，OB的长是关于x的方程x²-（k+2）x+5=0的两个根，且S_△AOC：S_△BOC=1：5．

（1）填空：0C= ___ ，k= ___ ；
（2）求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；
（3）AC与抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连接PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形．

Answer 1

（1）√(5)，4．
（2）由题意得C（1，2），B（5，O），
设所求抛物线解析式为y=ax（x-5），
a=-(1)/(2)
y=-(1)/(2)x²+(5)/(2)x．
（3）直线AC：y=2．
直线AC与抛物线交于点C，D．
解得x₁=1，x₂=4．
∴CD=3．延长QM交x轴于点N．
①若MP⊥OB，则四边形AOPQ是矩形，
∴AQ=OP，
∴4-t=t，且t=2．
②若PM⊥BM，则MN²=PN•BN．
∵(MN)/(2)=(1+t)/(4)
∴MN=(t+1)/(2)
PN=5-（1+t）-t=4-2t，BN=1+t，
∴（(t+1)/(2)）²=（4-2t）（1+t），
∴t₁=-1（舍去），t₂=(5)/(3)．
综上所得，当t=2（秒），或t=(5)/(3)（秒）时，△PMB是直角三角形．