已知椭圆的长短轴,椭圆上一点和中心连线与长轴的夹角,求该点到椭圆中心的距离?

Question

已知椭圆的长短轴,椭圆上一点和中心连线与长轴的夹角,求该点到椭圆中心的距离?

Answer 1

设椭圆的长短半轴长分别为a,b,a>b,
椭圆焦点在x轴上,中心在原点
P为椭圆上一点,PO长轴的夹角为θ
设PO=r,那么P(rcosθ,rsinθ)代入椭圆方程
x²/a²+y²/b²=1
∴ r²cos²θ/a²+r²sin²θ/b²=1
∴r²(cos²θ/a²+sin²θ/b²)=1
∴r²=1/((cos²θ/a²+sin²θ/b²)
=a²b²/(a²sin²θ+b²cos²θ)
∴r=ab/√(a²sin²θ+b²cos²θ)