求证两正态随机变量相互独立已知：随机变量R~Rayleigh(σ²),θ~U(0,2π),R,θ相互独立,N1=Rcosθ,N2=Rsinθ求证：N1,N2相互独立

Question

求证两正态随机变量相互独立
已知：随机变量R~Rayleigh(σ²),θ~U(0,2π),R,θ相互独立,N1=Rcosθ,N2=Rsinθ
求证：N1,N2相互独立

Answer 1

由J^-1=R(cos^2+sin^2)=R,因此J=R^-1=(n1^2+n2^2)^-0.5
f(N1,N2)=|J|{fR(N1^2+N2^2)} = (1/σ²)e^-n1^2+n2^2
e^.=e^-n1^2 x e^-n2^2没问题.
因此f(n1 n2)可以拆分成n1和n2的独立函数乘积,因此独立