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如图,△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P,求∠BPM的度数.
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如图,△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P,求∠BPM的度数.
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▼优质解答
答案和解析
如图,过M作ME∥AN,使ME=AN,连NE,BE,
则四边形AMEN为平行四边形,
∴NE=AM,ME⊥BC,
∵AN=MC,
∴ME=CM,
在△BEM和△AMC中,
,
∴△BEM≌△AMC(SAS),
∴BE=AM=NE,∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠1+∠3=90°,
∴∠2+∠4=90°且BE=NE,
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45°,
∵AM∥NE,
∴∠BPM=∠BNE=45°.
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则四边形AMEN为平行四边形,
∴NE=AM,ME⊥BC,
∵AN=MC,
∴ME=CM,
在△BEM和△AMC中,
|
∴△BEM≌△AMC(SAS),
∴BE=AM=NE,∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠1+∠3=90°,
∴∠2+∠4=90°且BE=NE,
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45°,
∵AM∥NE,
∴∠BPM=∠BNE=45°.
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