设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0

Question

设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0

Answer 1

设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0
设A=[aij],其中i,j=1,2,...,n
令C=A^2=A×A,依据矩阵乘法法则,C中主对角线上元素cii就是A的第i行和A第i列元素对应相乘再相加所得.其中i=1,2,...,n
cii=ai1*ai1+ai2*ai2+...+ain*ain
=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
(因为A对称,所以第i行元素和第j列元素是对应相等的)
而cii=0 （C为零矩阵,其中每一个元素当然也是零）
所以
0=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
而A是实矩阵,其元素均为实数,
所以aij=0 (j=1,2,...,n),即A中每一个元素均为数字零
因此A=零矩阵