已知数列{an}的前n项和是Sn,a1=1,Sn=n^2an,求anSn=（n^2）an

Question

已知数列{an}的前n项和是Sn,a1=1,Sn=n^2an,求an
Sn=（n^2）an

Answer 1

这道题比较简单,也比较典型,给你两种方法吧.
第一种解法：
n=1时,a1=1
n≥2时,
Sn=n²an
Sn-1=(n-1)²a(n-1)
an=Sn-Sn-1=n²an-(n-1)²a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an=(n-1)a(n-1)/(n+1)
a(n-1)=(n-2)a(n-2)/n
…………
a2=a1/3
连乘
a2a3...an=a1a2...a(n-1)[(n-1)(n-2)...1]/[(n+1)n...3]=2a1a2...a(n-1)/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]=2/[n(n+1)]
n=1时,a1=2/(1×2)=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=2/[n(n+1)]
第二种解法：
n=1时,a1=1
n≥2时,
Sn=n²an
Sn-1=(n-1)²a(n-1)
an=Sn-Sn-1=n²an-(n-1)²a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1) 到这里和第一种方法是一样的.
n(n+1)an=n(n-1)a(n-1)
an/[n(n-1)]=a(n-1)/[n(n+1)]
an[1/(n-1)-1/n]=a(n-1)[1/n-1/(n+1)]
an/[1/n-1/(n+1)]=a(n-1)/[1/(n-1)-1/n]
a1/(1/1-1/2)=1/(1/2)=2
数列{an/[1/n-1/(n+1)]}是各项均为2的常数数列.
an/[1/n-1/(n+1)]=2
an=2[1/n-1/(n+1)]=2/[n(n+1)]
数列{an}的通项公式为an=2/[n(n+1)]
两种方法得到的结果是一样的.