已知向量a=(cosa,sina) b=(cosb,sinb)且a b满足│ka+b│=根号3│a-kb│(k＞0)1 求向量a与向量b的数量积用k表示的解析式f(k)2 向量a能否和向量b垂直 能否平行?若不能则说明理由 若能 则求k值3 求向量a与b

Question

已知向量a=(cosa,sina) b=(cosb,sinb)且a b满足│ka+b│=根号3│a-kb│(k＞0)
1 求向量a与向量b的数量积用k表示的解析式f(k)
2 向量a能否和向量b垂直 能否平行?若不能则说明理由 若能 则求k值
3 求向量a与b夹角的最大值

Answer 1

由|ka+b|=根号3|a-kb|平方得到：k^2a^2+2kab+b^2=3(a^2-2kab+k^2b^2),
又|a|=1,|b|=1,
代入上式得到：k^2+2ka.b+1=3(1-2kab+k^2),即8ka.b=2+2k^2,
即a.b=(2+2k^2)/8k=(k^2+1)/4k,
（2）由于k>0,故a·b不=0,所以向量a和向量b不能垂直.
如果a,b平行,则a·b=(+/-)|a||b|
即(k^2+1)/4k=(+/-)1
k^2+1=(+/-)4k
k^2(-/+)4k+1=0
[k(-/+)2]^2=3
k(-/+)2=(+/-)根号3
又k>0,即k=2+根号3或2-根号3
（3）cos=a.b/(|a||b|)=(2+2k^2)/8k=1/(4k)+k/4>=2根号(1/4k*k/4)=2*1/4=1/2
所以,