求解常微分方程：y''+2y'/x+y^n=0感激不尽!

Question

求解常微分方程：y''+2y'/x+y^n=0 感激不尽!

Answer 1

令 u = x^2,dx = du / 2x 代入有：
d( dy / dx ) / dx + 2 dy / ( x dx )  + y^n = 0
d( 2x dy / du ) / dx + 2 dy / ( du / 2 ) + y^n = 0
 2 dx dy / ( du dx ) + 2 x d( dy / du ) / dx + 4 dy / du + y^n = 0
 2 dy / du + (2 x)^2  d( dy / du ) / du + 4 dy / du + y^n = 0
 2 dy + 4 u d( dy / du ) + 4 dy + y^n · du = 0
 2 dy + 4 d( u dy/du ) + y^n · du = 0
积分有：
 2y + 4 u dy/du + ∫ y^n · du = 0    ①
当 n = 0 时,有：2y + 4u dy/du + u + C = 0
得到的通解是：y = (-1/6) x^2 + C1 / x + C2
其中 (-1/6) x^2 + C2 是特解,C1 / x 是齐次解；
观察特解的形式,暂时猜测解是幂函数,具有如下表述：
y1(x) = u x^(2k) （这里的u是待定系数,2k是x的乘幂）
代入原方程①得到：


这种解存在的话满足条件：n ≠ 1 且 n ≠ 3
这样得到了通解如下：
y(x) = y1(x) = u x^(2k) （这里的系数u,k由上述表达式定义）