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若集合A={x/x=a二次方+b二次方,a,b∈Z},x1,x2∈A,证明:x1*x2∈A
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若集合A={x/x=a二次方+b二次方,a,b∈Z},x1,x2∈A,证明:x1*x2∈A
▼优质解答
答案和解析
设x1=a²+b²,x2=c²+d²,其中a、b、c、d都是整数,则:
x1x2=(a²+b²)(c²+d²)
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
=(a²c²+2abcd+b²d²)+(a²d²-2abcd+b²c²)
=(ac+bd)²+(ad-bc)²
因a、b、c、d是整数,则ac+bd、ad-bc都是整数,则x1x2∈A
x1x2=(a²+b²)(c²+d²)
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
=(a²c²+2abcd+b²d²)+(a²d²-2abcd+b²c²)
=(ac+bd)²+(ad-bc)²
因a、b、c、d是整数,则ac+bd、ad-bc都是整数,则x1x2∈A
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