已知A=｛x|x=a+（根号2）*b,a,b属于N｝（1）对任意x1,x2属于A,证明x1+x2属于A,x1*x2属于A（2）若集合B=｛x|x=（根号2）*x1,x1属于A｝,证明B是A的真子集.（3）若集合C=｛x|x=x1-x2,x1、x2属于A｝,当x=a+（根号

Question

已知A=｛x|x=a+（根号2）*b,a,b属于N｝
（1）对任意x1,x2属于A,证明x1+x2属于A,x1*x2属于A
（2）若集合B=｛x|x=（根号2）*x1,x1属于A｝,证明B是A的真子集.
（3）若集合C=｛x|x=x1-x2,x1、x2属于A｝,当x=a+（根号2）*b属于C（a,b互质）时,必有1/x属于C,揭示a,b关系.

Answer 1

1）对任意x1,x2属于A,证明x1+x2属于A,x1*x2属于A
令x1=a1+√2b1,x2=a2+√2b2
x1+x2=（a1+a2）+（b1+b2）√2
a1、a2、b1、b2∈N,则a1+a2∈N,b1+b2∈N
即x1+x2∈A
x1*x2=（a1a2+2b1b2）+（a1b2+a2b1）√2
a1、a2、b1、b2∈N,则a1a2+2b1b2∈N,a1b2+a2b1∈N
即x1x2∈A
即证.
2）若集合B=｛x|x=√2*x1,x1∈A｝,
令x1=a1+√2 b1
则x=√2 a1+2b1
而a1∈N,而2b1∈2N（a1可为全体自然数,而2b1只能是自然数中全体偶数）
所以B包含于A,即B是A的真子集