设A为n阶实矩阵,证明:若对于任意n维实列向量a,有a^TAa=0.则A为反对称矩阵 求问怎么证明

Question

设A为n阶实矩阵,证明:若对于任意n维实列向量a,有a^TAa=0.则A为反对称矩阵 求问怎么证明

Answer 1

矩阵A=(aij)
由于对任意的n维实列向量a成立,所以要在a上面做文章：
令a=(0,...,1,...0)(a中第i个元素是1,其余的是0),代入可知aii=0
令a=(...,1,...,1,.)(a中第i个和第j个元素是1,其余的是0)(i≠j),代入可得：aii+aji+aij+ajj=0
aii=ajj=0,故aij+aji=0
所以(aij)+a(ji)=0
即A+A^T=0,A=-A^T
从而A是反对称矩阵