如图所示，△ABC内接于O，AB是O的直径，点D在O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC=BC；（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Question

如图所示，△ABC内接于
O，AB是
O的直径，点D在
O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC．               （1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．                   （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE．                       （3分）
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC．                  （4分）
∴

DC

=

BC

．
∴DC=BC．                        （5分）
（2） ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴BC=√(AB2-AC2)=√(52-42)=3．  （6分）
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC．                 （7分）
∴(EC)/(BC)=(AC)/(AB)．
∴(EC)/(3)=(4)/(5)EC=(12)/(5)．              （8分）
∵DC=BC=3，
∴ED=√(DC2-CE2)=√(32-((12)/(5))2)=(9)/(5)．（9分）
∴tan∠DCE=(ED)/(EC)=((9)/(5))/((12)/(5))=(3)/(4)．            （10分）