如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠CAB的平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（1）求证：ABAC=PAPC；（2）求AD•AE的值．

Question

如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠CAB的平分线与BC和圆O分别交于点D和E．

（1）求证：(AB)/(AC)=(PA)/(PC)；
（2）求AD•AE的值．

Answer 1

（1）∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，
∵∠P=∠P，
∴△ABP∽△PAC，
∴(AB)/(AC)=(PA)/(PC)；

（2）连接AO，CE．
∵PA为圆O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∵PA=10，PB=5，
∴PC=(PA2)/(PB)=(102)/(5)，
∴PC=20，
∴BC=15，
∵∠CAB=90°，
∴AC²+AB²=BC²=225，
由（1）知(AB)/(AC)=(PA)/(PC)=(1)/(2)，
∴AC=6√(5)，AB=3√(5)，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴(AB)/(AE)=(AD)/(AC)，
∴AD•AE=AB•AC=3√(5)×6√(5)=90．