设f(x)=(x²+x-2)|x(x²＋x－2﹚|,则f(X)不可导点的个数是?

Question

设f(x)=(x²+x-2)|x(x²＋x－2﹚|,则f(X)不可导点的个数是?

Answer 1

f(x)=(x²+x-2)|x(x²+x-2)|?
其中的|x(x²+x-2)|,是表示x(x²+x-2)的绝对值吧?
设：g(x)=x(x²+x-2)
g(x)=x(x-1)(x+2)
可见：三个因式从小到大排序为：x-1、x、x+2
1、令：g(x)≥0
有：
x-1≥0、x≥0、x+2≥0…………………………(1)
x-1≤0、x≤0、x+2≥0…………………………(2)
由(1)得：x≥1
由(2)得：-2≤x≤0
2、令：g(x)＜0
有：
x-1＜0、x＜0、x+2＜0…………………………(3)
x-1＜0、x＞0、x+2＞0…………………………(4)
由(3)解得：x＜-2
由(4)解得：0＜x＜1
即：
当x∈[-2,0]∪[1,∞)时,g(x)＞0
当x∈(∞,-2)∪(0,1)时,g(x)＜0
已知：f(x)=(x²+x-2)|g(x)|
当x∈[-2,0]∪[1,∞)时,有：g(x)≥0,
即：
f(x)=(x²+x-2)|g(x)|
f(x)=(x²+x-2)g(x)
f(x)=(x²+x-2)x(x²+x-2)
f(x)=x^5+2x^4-3x^3-4x^2+4x
f'(x)=(x^5+2x^4-3x^3-4x^2+4x)'
f'(x)=5x^4+8x^3-9x^2-8x+4
当x∈(∞,-2)∪(0,1)时,有：g(x)＜0
即：
f(x)=(x²+x-2)|g(x)|
f(x)=-(x²+x-2)g(x)
f(x)=-(x²+x-2)x(x²+x-2)
f(x)=-x^5-2x^4+3x^3+4x^2-4x
f'(x)=-(x^5+2x^4-3x^3-4x^2+4x)'
f'(x)=-5x^4-8x^3+9x^2+8x-4
可见：无论x为何值,f(x)处处可导.
即：f(x)不存在不可导点.