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设矩阵A,B及A+B都可逆,证明A^-1+B^-1也可逆,并求其矩阵
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设矩阵A,B及A+B都可逆,证明A^-1+B^-1也可逆,并求其矩阵
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答案和解析
由(A^-1)+(B^-1)=(A^-1)*(A+B)*(B^-1)得
((A^-1)+(B^-1))*(B*((A+B)^-1)*A)=((A^-1)*(A+B)(B^-1))*(B*((A+B)^-1)*A)=I.
(B*((A+B)^-1)*A)*((A^-1)+(B^-1))=(B*((A+B)^-1)*A)*((A^-1)*(A+B)*(B^-1))=I.故(A^-1)+(B^-1)可逆,则((A^-1)+(B^-1))^-1=B*((A+B)^-1)*A
((A^-1)+(B^-1))*(B*((A+B)^-1)*A)=((A^-1)*(A+B)(B^-1))*(B*((A+B)^-1)*A)=I.
(B*((A+B)^-1)*A)*((A^-1)+(B^-1))=(B*((A+B)^-1)*A)*((A^-1)*(A+B)*(B^-1))=I.故(A^-1)+(B^-1)可逆,则((A^-1)+(B^-1))^-1=B*((A+B)^-1)*A
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