已知a大于等于1,试比较M等于根号下（a+1）减根号下a和N等于根号下a减根号下（a-1）的大小

Question

已知a大于等于1,试比较M等于根号下（a+1）减根号下a和N等于根号下a减根号下（a-1）的大小

Answer 1

先比较√(a+1)+√(a-1)和2√a
对它们分别平方
〔√(a+1)+√(a-1)〕^2
=a+1+2√(a+1)(a-1)+a-1
=2a+2√(a^2-1)
(2√a)^2=4a
因为2√(a^2-1)＜2√a^2＝2a
所以2a+2√(a^2-1)＜4a
结合上面两边开平方后可得
√(a+1)+√(a-1)＜2√a
√(a+1)+√(a-1)-2√a＜0
所以M-N=〔√(a+1)-√a-〕-〔√a-√(a-1)〕
=√(a+1)-√a-√a+√(a-1)
＝√(a+1)+√(a-1)-2√a＜0
即M＜N