∫(1,0)e^2x(cosπxdx)高数题坐等

Question

∫(1,0)e^2x(cosπxdx) 高数题 坐等

Answer 1

先求不定积分：∫e^2x(cosπxdx)
=(1/π)∫e^2x d(sinπx)
=(1/π)[sinπx e^2x-∫sinπx de^2x] ←第一次使用分部积分
=(1/π)[sinπx e^2x-2∫e^2x sinπx dx]
=(1/π)[sinπx e^2x+(2/π)∫e^2x d cosπx]
=(1/π)【sinπx e^2x+(2/π)[e^2x cosπx-∫ cosπx d e^2x]】 ←第二次使用分部积分
=(1/π)【sinπx e^2x+(2/π)[e^2x cosπx-2∫ cosπx e^2x dx]】

观察首尾情况,将上面等式化简：
π∫e^2x(cosπxdx) =sinπx e^2x+(2/π)[e^2x cosπx-2∫ e^2x(cosπx)dx]
π∫e^2x(cosπxdx) =sinπx e^2x+(2/π)e^2x cosπx-(4/π)∫ e^2x(cosπx)dx

∫e^2x(cosπxdx) =[sinπx e^2x+(2/π)e^2x cosπx]/(π+4/π)
∫(0→1)e^2x(cosπxdx)=[-2e^2/(π^2+4)]-[2/(π^2+4)]
=[(-2e^2-2)/(π^2+4)]

以上答案仅供参考,如有疑问可继续追问!