（2009•佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

Question

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Answer 1

（1）如图，
木柜的表面展开图是矩形ABC'₁1D₁1或ACC₁1A₁1．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC'₁1或AC₁1；（2分）


（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC'₁1D₁1爬过的路径AC'₁1的长是l1＝√(42+(4+5)2)＝√(97)．（3分）
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB₁C₁D爬过的路径AC₁的长=√(97)，

蚂蚁沿着木柜表面ACC₁A₁爬过的路径AC₁的长是l2＝√((4+4)2+52)＝√(89)．（4分）
l₁＞l₂，故最短路径的长是l2＝√(89)．（5分）

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即(B1E)/(AA1)=(B1C1)/(AC1)，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． l1＝√(42+(4+5)2)＝√(97)．（3分）
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB₁C₁D爬过的路径AC₁的长=√(97)，

蚂蚁沿着木柜表面ACC₁A₁爬过的路径AC₁的长是l2＝√((4+4)2+52)＝√(89)．（4分）
l₁＞l₂，故最短路径的长是l2＝√(89)．（5分）

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即(B1E)/(AA1)=(B1C1)/(AC1)，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． 1＝√(42+(4+5)2)

42+(4+5)2

42+(4+5)242+(4+5)22+(4+5)22＝√(97)

97

9797．（3分）
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB₁1C₁1D爬过的路径AC₁1的长=√(97)，

蚂蚁沿着木柜表面ACC₁A₁爬过的路径AC₁的长是l2＝√((4+4)2+52)＝√(89)．（4分）
l₁＞l₂，故最短路径的长是l2＝√(89)．（5分）

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即(B1E)/(AA1)=(B1C1)/(AC1)，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． √(97)

97

9797，

蚂蚁沿着木柜表面ACC₁1A₁1爬过的路径AC₁1的长是l2＝√((4+4)2+52)＝√(89)．（4分）
l₁＞l₂，故最短路径的长是l2＝√(89)．（5分）

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即(B1E)/(AA1)=(B1C1)/(AC1)，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． l2＝√((4+4)2+52)＝√(89)．（4分）
l₁＞l₂，故最短路径的长是l2＝√(89)．（5分）

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即(B1E)/(AA1)=(B1C1)/(AC1)，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． 2＝√((4+4)2+52)

(4+4)2+52

(4+4)2+52(4+4)2+522+522＝√(89)

89

8989．（4分）
l₁1＞l₂2，故最短路径的长是l2＝√(89)．（5分）

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即(B1E)/(AA1)=(B1C1)/(AC1)，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． l2＝√(89)．（5分）

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即(B1E)/(AA1)=(B1C1)/(AC1)，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． 2＝√(89)

89

8989．（5分）

（3）作B₁1E⊥AC₁1于E，
∵∠C₁1EB₁1=∠C₁1A₁1A，∠A₁1C₁1A是公共角，
∴△AA₁1C₁1∽△B₁1EC₁1，
即(B1E)/(AA1)=(B1C1)/(AC1)，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． (B1E)/(AA1)B1EB1EB1E1EAA1AA1AA11=(B1C1)/(AC1)，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． (B1C1)/(AC1)B1C1B1C1B1C11C11AC1AC1AC11，
则B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． B1E＝(B1C1)/(AC1)•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． 1E＝(B1C1)/(AC1)B1C1B1C1B1C11C11AC1AC1AC11•AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． AA1＝(4)/(√(89))•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． 1＝(4)/(√(89))444√(89)√(89)√(89)

89

8989•5＝(20)/(89)√(89)为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）． 5＝(20)/(89)202020898989√(89)

89

8989为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）．